Apesar do Número de Euler (e = 2,71828…) ser uma das mais populares constantes matemáticas, poucas pessoas sem um background matemático realmente entendem o quê esse número representa ou qual é a origem dele.
A explicação para esse desentendimento é bem simples. É muito mais fácil visualizar o significado de uma constante diretamente vinculada a uma forma geométrica. Por exemplo, pi (π = 3,14159…) é metade do diâmetro de uma circunferência de raio=1, enquanto raiz de 2 (√2 = 1, 41421…) é a diagonal de um quadrado de lado=1.
Essas constantes são facilmente visualizadas ou demonstradas, porém o Número de Euler não possui essa representação física. Na realidade ele está vinculado com algo ainda mais importante: crescimento.
A Origem do Número
Diferente do que o nome sugere, essa constante foi descoberta em 1683 por Jacob Bernoulli enquanto ele estudava juros compostos em matemática financeira. Porém, aproximadamente 50 anos depois Leonhard Euler introduziu a letra e para representar a constante, desenvolver ferramentas para calcular o valor e encontrou os 23 primeiros dígitos.
A pesquisa original de Bernoulli era para descobrir qual seria o resultado de uma aplicação financeira cujo os juros fossem creditados em intervalos cada vez menores. Juros constantes ao invés de juros discretos.
Supondo que $1,00 seja aplicado a uma taxa de juros de 100% ao ano. No final desse ano o valor será $2,00 ($1,00 inicial mais $1,00 de 100% de juros).
$1,00 x (1 + 100%) = $2,00
Porém, caso esses 100% de juros sejam creditados semestralmente, essa equação se transforma em uma equação de juros compostos, onde cada metade (50%) gera um efeito cascata, ampliando o resultado final.
$1,00 x (1 + ½) x (1 + ½) = $2,25
A próxima equação mostra os mesmos 100% de juros, porém aplicados a cada trimestre. Quanto maior a quantidade de “fatias” que o saldo é dividido, maior é o resultado final.
> $1,00 x (1 + ¼) x (1 + ¼) x (1 + ¼) x (1 + ¼) > $1,00 x (1 + ¼)4 = $2,4414...
Independentemente da quantidade de quantidade de períodos que esses juros de 100% forem divididos, o produto das prestações irá formar uma equação seguindo o padrão abaixo.
$1,00 x (1 + 1/n)n
Se substituirmos n por uma quantidade infinita de período, vamos que o resultado converge para um limite. Esse limite é o Número de Euler.
Um Sistema de Feedback
Existe muito conteúdo na internet disponível sobre o Número de Euler, mas o que me motivou a escrever este artigo foi que uma parte muito insignificante desse conteúdo faz a conexão com sistemas de feedback.
Feedback Positivo é um processo em loop em que o resultado de um sistema (output) serve como combustível (input) para o próprio. Veja os exemplos:
- O crescimento populacional ocorre quando pessoas geram mais pessoas, e essa nova geração de pessoas vai gerar ainda mais pessoas.
- Em aplicações financeiras, quanto maior for o tempo e a quantidade de dinheiro aplicada, maior serão os rendimentos, pois o dinheiro depende apenas dele mesmo para crescer.
- Em um sistema em que A produz B e B produz A, A vai produzir uma quantidade cada vez maior de B, resultando em uma quantidade ainda maior de A.
- Alternativamente, existe o Feedback Negativo. Exemplo: Um sistema que libera energia perde temperatura. Quanto menor for a temperatura, menor será a energia liberada. O ciclo vai se repetir até que a temperatura e a energia se estabilizem.
Esses são exemplos de sistemas fechados, que se alimentam, cujo o input e o output são os mesmos. É um tipo de sistema que pode ser observado na maioria dos ramos da ciência, logo é importante encontrar uma forma de representar esses sistemas matematicamente.
É necessário encontrar uma função que represente esse loop. Uma função que seja derivada de si mesma. E é a partir dessa ideia que surge uma das principais propriedades do Cálculo.
ex é a única função cujo ela mesma é sua derivada e sua integral. E por isso ela é aplicada em qualquer área de estudo que contenha sistemas de feedback, ou que contenha um crescimento universal.
Se você começar a se aprofundar em alguma área, há uma grande chance de se deparar com uma função exponencial. Algumas dessas áreas são Matemática Financeira (juros compostos), Matemática Pura (cálculo e números complexos), Matemática Aplicada (análise combinatória e estatística), Química (meia-vida e decaimento radioativo), Biologia e Planejamento Urbano (crescimento populacional e controle de vírus/bactérias), várias áreas da Engenharia e modelos de previsão.
Para uma explicação mais aprofundada de como o Número de Euler se conecta com a ideia de crescimento e uma melhor visualização desse crescimento ocorrendo, este artigo é um dos melhores materiais da internet.
Gustavo Furtado 